Дискретная случайная величина

Случайная величина дискретная, когда представлена в виде числового значения.

Закон распределения дискретной случайной величины строится на соотношении события в виде случайной величины и его вероятности в виде числового значения.

Распределение дискретной случайной величины

В математическом виде ряд распределения записывается в форме таблицы, где верхние показатели — это случайная величина, а нижний показатель — это вероятность ее наступления, при этом соблюдаются два условия:

  1. Вероятность события равно или более 0, но меньше или равно 1, то есть вероятность события принадлежит диапазону от 0 до 1 включая крайние значения [0, 1].
  2. Если сложить вероятности дискретных случайных величин, то их сумма будет равна 1, так как события составляют полную группу попарно несовместных событий.
xix1x2x3x4x5x6x7x8
pi0,220,010,040,0750,250,310,020,075
Графический вид ряда распределения

Ряд распределения случайной величины в графическом виде представляет собой полигон распределения или многоугольник.

poligon-raspredeleniya-sluchainoi-velichini
Рисунок 1. Полигон распределения случайной величины

Рисуется он на координатной оси при этом по горизонтальной оси представлены значения случайной величины, а по вертикальной оси указана вероятность этих величин.

Функция распределения и свойства дискретной случайной величины

Интегральная функция распределения показывает влияние возможного значения на вероятность случайной величины, которая в свою очередь меньше возможного значения, то есть принадлежит графику F(x).

F(X)=P(X)

Функция распределения случайной величины представляет собой сумму вероятности всех случайных величин, которые в свою очередь меньше заданного значения.

F(x)=ΣP(X=xi)

Функция распределения принимает любые значения от 0 до 1, так как ее результатом является вероятность.

0<=F(x)<=1

Она неубывающая и выглядит ступенчатой. В случае если xi<xi+1

Она непрерывна слева. Попадание случайной величины в интервал говорит о приращении функции распределения в этих точках. Вероятность попадания дискретной случайной величины в интервал от a до b, при этом нижний интервал включается в диапазон, а верхний нет, равна функции приращения данного промежутка или P(a<=X)

Расчет вероятностей ряда распределения

Биноминальный закон распределения

Случайная величина распределяется по биноминальному закону в соответствии с тем, что испытание проводится определенное количество раз и при этом событие свершается некоторое количество раз с одной и той же вероятностью.

В соответствии с законом определено, что значение вероятности не изменяется, число повторений определено, тогда вероятность совершения события при повторении испытания некоторое количество раз вычисляется по формуле Бернулли.

Распределение величины визуализируются посредством расчета вероятности по закону Пуассона

Рассмотрим биноминальный закон распределения на примере того, что по статистике из 10 студентов трое сдают задание во время, тогда вероятность сдачи задания вовремя статичная величина равная 0,3. Составим таблицу распределения случайной величины в соответствии с биноминальным законом распределения.

Рассчитывать комбинацию результатов будем с помощью теоремы сочетания, когда элементы участвуют по одному разу

В случае, если никто из студентов не сдал вовремя

По теореме сочетания количество комбинаций при условии не сдачи задания никем:

10!/(0!*10!)

1

Тогда вероятность сдачи задания студентами в данных условиях:

0,3 в степени 0

1

Вероятность не сдачи задания студентами в данных условиях:

(1-0,3) в степени 10

0.028

Рассчитаем f(x) при х=0:

(10!/(0!*10!))* 0,3^0*0,7^10

0,0282475249

В случае, если один из студентов сдал задание во время

Количество комбинации при сдаче задания во время одним студентом рассчитываем:

Math/(1!*9!)

1

Вероятность сдачи задания:

0,3 в степени 1

0.3

Вероятность не сдачи задания

0,7 в степени 9

0.040353607

Рассчитаем f(x) при х=1:

10!/(1!*9!)*0,3^1*0,7^9

0.121060821

В случае, если двое из студентов сдали задание во время

Количество комбинации при сдаче задания во время одним студентом рассчитываем:

10!/(2!*8!)

40320

Вероятность сдачи задания:

0,3 в степени 2

0.09

Вероятность не сдачи задания

0,7 в степени 8

Рассчитаем f(x) при х=1:

10!/(2!*8!)*0.3^2*0.7^8=

0.2334744405

0.05764801

Продолжаем расчет всех десяти возможных вариантов сдачи задания десяти студентами и составляем ряд распределения случайной величины:

x

0

2

3

4

5

f(x)

0.28

0.12

0.23

0.27

0.1

x

6

7

8

9

10

f(x)

0.037

0.009

0.001

0.0002

0.04

Нормальный закон распределения

Определяется плотностью вероятности распределения. Попадание вероятности в интервал определяется посредством расчета функции Лапласа

Равномерный закон распределения

Основывается на определении попадает ли величина в интервал

Оценивание параметров распределения

Точечная оценка

Эффективность ряда распределения оценивается по совпадению полученной величины с расчетным показателем его математического ожидания

Несмещенность

Несмещенность статистической величины оценивается путем сопоставления показателя с результатом расчета показателей моды и медианы

Определяется наиболее часто встречающееся значение ряда и значение, которое делит интервал пополам. Когда расчетные величины найдены определяется отклонение. Несмещенной можно охарактеризовать величину в случае, если ее расчетное значение максимально схоже с расчетной величиной моды и медианы.

Состоятельность

Состоятельность характеризуется в зависимости от удовлетворения закону больших чисел.

Оценка состоятельности дается при повторении испытания бесконечное количество раз. Чем ближе расчетная величина к оцениваемому показателю, тем состоятельнее считается результат исследования.

Достаточность

Параметр достаточности случайной величины характеризуется наличием информации для оценки настоящего положения.

Полнота данных для оценки основывается в каждом случае индивидуально, однако существует перечень параметров, который дает достаточный набор оценок для заключения экспертного мнения.

К таким показателям относятся

генеральная средняя или математическое ожидание = среднее арифметическое

генеральная дисперсия при известном математическом ожидании = выборочная дисперсия, исправленная выборочная дисперсия

генеральная дисперсия при неизвестном математическом ожидании

генеральное среднее квадратическое отклонение выборочное среднее квадратическое отклонение

начальные моменты kго порядка

центральные моменты kго порядка